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Java数据结构与算法_08 树结构基础部分 （二叉树的遍历、顺序存储二叉树、线索化二叉树）
阅读量：3966 次
发布时间：2019-05-24

本文共 14957 字，大约阅读时间需要 49 分钟。

Java数据结构与算法_08 树结构基础部分

本人是个新手，写下博客用于自我复习、自我总结。

如有错误之处，请各位大佬指出。
学习资料来源于：尚硅谷

为什么需要树这种数据结构？

  1. 数组存储方式的分析：

    优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。
    缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低

  2. 链式存储方式的分析：

    优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可， 删除效率也很好)。
    缺点：在进行检索时，效率仍然较低，比如(检索某个值，需要从头节点开始遍历)

  3. 树存储方式的分析：

    能提高数据存储，读取的效率。比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree)，既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。

树的常用术语

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

二叉树

二叉树的概念

  1. 树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。
  2. 二叉树的子节点分为左节点和右节点。
    在这里插入图片描述
  3. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则称它为满二叉树。
    在这里插入图片描述
  4. 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树。

在这里插入图片描述

二叉树的遍历

二叉树的遍历总共有三种方式：

前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树

中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树
后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点

注: 看输出父节点的顺序，就可以确定是前序，中序还是后序。

比如：

在这里插入图片描述
遍历步骤：

  1. 创建一颗二叉树
  2. 前序遍历
    2.1 先输出当前节点(初始的时候是根节点）
    2.2 如果左子节点不为空，则递归继续前序遍历
    2.3 如果右子节点不为空，则递归继续前序遍历
  3. 中序遍历
    3.1 如果左子节点不为空，则递归继续中序遍历
    3.2 输出当前节点
    3.3 如果右子节点不为空，则递归继续中序遍历
  4. 后序遍历
    4.1 如果左子节点不为空，则递归继续后序遍历
    4.2 如果右子节点不为空，则递归继续后序遍历
    4.3 输出当前节点

前序遍历的结果为：1 2 3 5 4

中序遍历的结果为：2 1 5 3 4
后序遍历的结果为：2 5 4 3 1

现在就利用上图，来完成一些功能。

要求如下：

  1. 假如之前没有5号节点。在3号节点 “卢俊” , 增加一个左子节点 [5, 关胜]
  2. 编写前序，中序，后序遍历的方法，输出各自的遍历结果
  3. 分别使用三种查找方式，查找 编号为 5 的节点
  4. 分析各种查找方式，分别比较了多少次
  5. 如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
  6. 如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树.
  7. 测试，删除掉 5号叶子节点 和 3号子树.

完整代码

public class BinaryTreeDemo {
   	public static void main(String[] args) {
   		// 先需要创建一颗二叉树		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();		// 创建需要的结点		HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");		HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");		HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");		HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");		HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");		// 先手动创建该二叉树，之后可以用递归的方式创建二叉树		root.setLeft(node2);		root.setRight(node3);		node3.setRight(node4);		node3.setLeft(node5);		binaryTree.setRoot(root);		// 测试		System.out.println("前序遍历");		binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,5,4		System.out.println("中序遍历");		binaryTree.infixOrder(); // 2,1,5,3,4		System.out.println("后序遍历");		binaryTree.postOrder(); // 2,5,4,3,1		// 前序遍历		// 前序遍历4次		System.out.println("前序遍历查找");		HeroNode resNode = binaryTree.preOrderSearch(5);		if (resNode != null) {
   			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(),					resNode.getName());		} else {
   			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);		}		System.out.println();		// 中序遍历查找		// 中序遍历3次		System.out.println("中序遍历查找");		HeroNode resNode1 = binaryTree.infixOrderSearch(5);		if (resNode1 != null) {
   			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode1.getNo(),					resNode1.getName());		} else {
   			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);		}		System.out.println();		// 后序遍历查找		// 后序遍历2次		System.out.println("后序遍历查找");		HeroNode resNode2 = binaryTree.postOrderSearch(5);		if (resNode2 != null) {
   			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode2.getNo(),					resNode2.getName());		} else {
   			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);		}		System.out.println();		// 测试删除结点		System.out.println("删除前,前序遍历");		binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,5,4		binaryTree.delNode(5);		// binaryTree.delNode(3);		System.out.println("删除后,前序遍历");		binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,4	}}// 定义二叉树class BinaryTree {
   	private HeroNode root;	public void setRoot(HeroNode root) {
   		this.root = root;	}	// 删除结点	public void delNode(int no) {
   		if (root != null) {
   			// 如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点			if (root.getNo() == no) {
   				root = null;			} else {
   				// 递归删除				root.delNode(no);			}		} else {
   			System.out.println("空树，不能删除~");		}	}	// 前序遍历	public void preOrder() {
   		if (this.root != null) {
   			this.root.preOrder();		} else {
   			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");		}	}	// 中序遍历	public void infixOrder() {
   		if (this.root != null) {
   			this.root.infixOrder();		} else {
   			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");		}	}	// 后序遍历	public void postOrder() {
   		if (this.root != null) {
   			this.root.postOrder();		} else {
   			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");		}	}	// 前序遍历	public HeroNode preOrderSearch(int no) {
   		if (root != null) {
   			return root.preOrderSearch(no);		} else {
   			return null;		}	}	// 中序遍历	public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
   		if (root != null) {
   			return root.infixOrderSearch(no);		} else {
   			return null;		}	}	// 后序遍历	public HeroNode postOrderSearch(int no) {
   		if (root != null) {
   			return this.root.postOrderSearch(no);		} else {
   			return null;		}	}}// 先创建HeroNode 结点class HeroNode {
   	private int no;	private String name;	private HeroNode left; // 默认null	private HeroNode right; // 默认null	public HeroNode(int no, String name) {
   		this.no = no;		this.name = name;	}	public int getNo() {
   		return no;	}	public void setNo(int no) {
   		this.no = no;	}	public String getName() {
   		return name;	}	public void setName(String name) {
   		this.name = name;	}	public HeroNode getLeft() {
   		return left;	}	public void setLeft(HeroNode left) {
   		this.left = left;	}	public HeroNode getRight() {
   		return right;	}	public void setRight(HeroNode right) {
   		this.right = right;	}	@Override	public String toString() {
   		return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";	}	// 递归删除结点	// 1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点	// 2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树	public void delNode(int no) {
   		// 思路		// 1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.		// 2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)		if (this.left != null && this.left.no == no) {
   			this.left = null;			return;		}		// 3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)		if (this.right != null && this.right.no == no) {
   			this.right = null;			return;		}		// 4.我们就需要向左子树进行递归删除		if (this.left != null) {
   			this.left.delNode(no);		}		// 5.则应当向右子树进行递归删除		if (this.right != null) {
   			this.right.delNode(no);		}	}	// 编写前序遍历的方法	public void preOrder() {
   		// 先输出父结点		System.out.println(this);		// 递归向左子树前序遍历		if (this.left != null) {
   			this.left.preOrder();		}		// 递归向右子树前序遍历		if (this.right != null) {
   			this.right.preOrder();		}	}	// 中序遍历	public void infixOrder() {
   		// 递归向左子树中序遍历		if (this.left != null) {
   			this.left.infixOrder();		}		// 输出父结点		System.out.println(this);		// 递归向右子树中序遍历		if (this.right != null) {
   			this.right.infixOrder();		}	}	// 后序遍历	public void postOrder() {
   		if (this.left != null) {
   			this.left.postOrder();		}		if (this.right != null) {
   			this.right.postOrder();		}		System.out.println(this);	}	// 前序遍历查找	/**	 * @param no	 *            查找no	 * @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null	 */	public HeroNode preOrderSearch(int no) {
   		System.out.println("进入前序遍历");		// 比较当前结点是不是		if (this.no == no) {
   			return this;		}		// 1.判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找		// 2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回		HeroNode resNode = null;		if (this.left != null) {
   			resNode = this.left.preOrderSearch(no);		}		if (resNode != null) {
   // 说明我们左子树找到			return resNode;		}		// 1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，		// 2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找		if (this.right != null) {
   			resNode = this.right.preOrderSearch(no);		}		return resNode;	}	// 中序遍历查找	public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
   		// 判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找		HeroNode resNode = null;		if (this.left != null) {
   			resNode = this.left.infixOrderSearch(no);		}		if (resNode != null) {
   			return resNode;		}		System.out.println("进入中序查找");		// 如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点		if (this.no == no) {
   			return this;		}		// 否则继续进行右递归的中序查找		if (this.right != null) {
   			resNode = this.right.infixOrderSearch(no);		}		return resNode;	}	// 后序遍历查找	public HeroNode postOrderSearch(int no) {
   		// 判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找		HeroNode resNode = null;		if (this.left != null) {
   			resNode = this.left.postOrderSearch(no);		}		if (resNode != null) {
   // 说明在左子树找到			return resNode;		}		// 如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找		if (this.right != null) {
   			resNode = this.right.postOrderSearch(no);		}		if (resNode != null) {
   			return resNode;		}		System.out.println("进入后序查找");		// 如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是		if (this.no == no) {
   			return this;		}		return resNode;	}}

顺序存储二叉树

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，看下面的示意图。

在这里插入图片描述
顺序存储二叉树的特点:

  1. 顺序二叉树通常只考虑完全二叉树
  2. 第n个元素的左子节点为 2 * n + 1
  3. 第n个元素的右子节点为 2 * n + 2
  4. 第n个元素的父节点为 (n-1) / 2
  5. n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号，如上图所示)

现在可以利用顺序存储二叉树完成一些功能。

要求:

上图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
在遍历数组 arr时，仍然可以以前序遍历，中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历。

完整代码

package com.guigu.tree;public class ArrBinaryTreeDemo {
   	public static void main(String[] args) {
   		int[] arr = {
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };		// 创建一个 ArrBinaryTree		ArrBinaryTree arrBinaryTree = new ArrBinaryTree(arr);		System.out.println("前序遍历");		arrBinaryTree.preOrder(); // 1,2,4,5,3,6,7		System.out.println("");		System.out.println("中序遍历");		arrBinaryTree.infixOrder(); // 4,2,5,1,6,3,7		System.out.println("");		System.out.println("后序遍历");		arrBinaryTree.postOrder(); // 4,5,2,6,7,3,1	}}// 编写一个ArrayBinaryTree, 实现顺序存储二叉树遍历class ArrBinaryTree {
   	private int[] arr;// 存储数据结点的数组	public ArrBinaryTree(int[] arr) {
   		this.arr = arr;	}	// 重载preOrder	public void preOrder() {
   		this.preOrder(0);	}	// 重载infixOrder	public void infixOrder() {
   		this.infixOrder(0);	}	// 重载postOrder	public void postOrder() {
   		this.postOrder(0);	}	// 编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历	/**	 * @param index	 *            数组的下标	 */	public void preOrder(int index) {
   		// 如果数组为空，或者 arr.length = 0		if (arr == null || arr.length == 0) {
   			System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");		}		// 输出当前这个元素		System.out.print(arr[index]);		// 向左递归遍历		if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
   			preOrder(2 * index + 1);		}		// 向右递归遍历		if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
   			preOrder(2 * index + 2);		}	}	// 编写一个方法，完成顺序存储二叉树的中序遍历	public void infixOrder(int index) {
   		// 如果数组为空，或者 arr.length = 0		if (arr == null || arr.length == 0) {
   			System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的中序遍历");		}		// 向左递归遍历		if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
   			infixOrder(2 * index + 1);		}		// 输出当前这个元素		System.out.print(arr[index]);		// 向右递归遍历		if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
   			infixOrder(2 * index + 2);		}	}	// 编写一个方法，完成顺序存储二叉树的后序遍历	public void postOrder(int index) {
   		// 如果数组为空，或者 arr.length = 0		if (arr == null || arr.length == 0) {
   			System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的后序遍历");		}		// 向左递归遍历		if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
   			postOrder(2 * index + 1);		}		// 向右递归遍历		if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
   			postOrder(2 * index + 2);		}		// 输出当前这个元素		System.out.print(arr[index]);	}}

线索化二叉树

先看一个问题：

将数列 {1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树

在这里插入图片描述
问题分析:

  1. 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}
  2. 但是 6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上.
  3. 如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?
  4. 解决方案-线索二叉树

基本介绍：

  1. n个结点的二叉链表中含有n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）

  2. 这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种

  3. 一个结点的前一个结点，称为前驱结点

  4. 一个结点的后一个结点，称为后继结点

以线索化二叉树的中序遍历为例：

在这里插入图片描述
说明: 当线索化二叉树后，Node节点的 属性 left 和 right ，有如下情况:

  1. left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点. 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点.
  2. right指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如 ① 节点right 指向的是右子树，而⑩ 节点的right 指向的是后继节点.

具体说明：

中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}

6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上。
根据中序遍历，从8开始。8没有前驱，但是有后继，也就意味着，8的right（后继节点）指向为3.
同理，下一个按照顺序可以利用的是10，10有前驱有后继，也就意味着，10的left指向3，right指向1.
其他同理，不再赘述。
而6是因为是最后一个节点，没有后继，同时14的right指向6，所以没有利用6的left,right。

分析：

因为线索化后，各个结点指向有变化，因此原来的遍历方式不能使用，这时需要使用新的方式遍历线索化二叉树，各个节点可以通过线性方式遍历，因此无需使用递归方式，这样也提高了遍历的效率。 遍历的次序应当和中序遍历保持一致。

完整代码

（只写了一个中序遍历）

package com.guigu.tree.threadedbinarytree;public class ThreadedBinaryTreeDemo {
   	public static void main(String[] args) {
   		// 测试		HeroNode root = new HeroNode(1, "tom");		HeroNode node2 = new HeroNode(3, "jack");		HeroNode node3 = new HeroNode(6, "smith");		HeroNode node4 = new HeroNode(8, "mary");		HeroNode node5 = new HeroNode(10, "king");		HeroNode node6 = new HeroNode(14, "dim");		// 现在简单处理，使用手动创建		root.setLeft(node2);		root.setRight(node3);		node2.setLeft(node4);		node2.setRight(node5);		node3.setLeft(node6);		// 初始化		ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree();		threadedBinaryTree.setRoot(root);		threadedBinaryTree.threadedNodes();		// 测试: 以10号节点测试		HeroNode leftNode = node5.getLeft();		HeroNode rightNode = node5.getRight();		System.out.println("10号结点的前驱结点是 =" + leftNode); // 3		System.out.println("10号结点的后继结点是=" + rightNode); // 1		// 当线索化二叉树后，在使用中序遍历方法		System.out.println("使用线索化的方式遍历 线索化二叉树");		threadedBinaryTree.threadedList(); // 8, 3, 10, 1, 14, 6	}}// 定义ThreadedBinaryTree 实现了线索化功能的二叉树class ThreadedBinaryTree {
   	private HeroNode root;	// 为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针	// 在递归进行线索化时，pre 总是保留前一个结点	private HeroNode pre = null;	public void setRoot(HeroNode root) {
   		this.root = root;	}	// 重载	public void threadedNodes() {
   		this.threadedNodes(root);	}	// 遍历线索化二叉树的方法	public void threadedList() {
   		// 定义一个变量，存储当前遍历的结点，从root开始		HeroNode node = root;		while (node != null) {
   			// 循环的找到leftType == 1的结点，第一个找到就是8结点			// 后面随着遍历而变化,因为当leftType==1时，说明该结点是按照线索化			// 处理后的有效结点			while (node.getLeftType() == 0) {
   				node = node.getLeft();			}			// 打印当前这个结点			System.out.println(node);			// 如果当前结点的右指针指向的是后继结点,就一直输出			while (node.getRightType() == 1) {
   				// 获取到当前结点的后继结点				node = node.getRight();				System.out.println(node);			}			// 替换这个遍历的结点			node = node.getRight();		}	}	// 编写对二叉树进行中序线索化的方法	/**	 * @param node	 *            就是当前需要线索化的结点	 */	public void threadedNodes(HeroNode node) {
   		// 如果node==null, 不能线索化		if (node == null) {
   			return;		}		// (一)先线索化左子树		threadedNodes(node.getLeft());		// (二)线索化当前结点		// 处理当前结点的前驱结点		// 以8结点来理解		// 8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1		if (node.getLeft() == null) {
   			// 让当前结点的左指针指向前驱结点			node.setLeft(pre);			// 修改当前结点的左指针的类型,指向前驱结点			node.setLeftType(1);		}		// 处理后继结点		if (pre != null && pre.getRight() == null) {
   			// 让前驱结点的右指针指向当前结点			pre.setRight(node);			// 修改前驱结点的右指针类型			pre.setRightType(1);		}		// 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点		pre = node;		// (三)再线索化右子树		threadedNodes(node.getRight());	}}// 先创建HeroNode 结点class HeroNode {
   	private int no;	private String name;	private HeroNode left; // 默认null	private HeroNode right; // 默认null	// 说明	// 1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点	// 2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点	private int leftType;	private int rightType;	public int getLeftType() {
   		return leftType;	}	public void setLeftType(int leftType) {
   		this.leftType = leftType;	}	public int getRightType() {
   		return rightType;	}	public void setRightType(int rightType) {
   		this.rightType = rightType;	}	public HeroNode(int no, String name) {
   		this.no = no;		this.name = name;	}	public int getNo() {
   		return no;	}	public void setNo(int no) {
   		this.no = no;	}	public String getName() {
   		return name;	}	public void setName(String name) {
   		this.name = name;	}	public HeroNode getLeft() {
   		return left;	}	public void setLeft(HeroNode left) {
   		this.left = left;	}	public HeroNode getRight() {
   		return right;	}	public void setRight(HeroNode right) {
   		this.right = right;	}	@Override	public String toString() {
   		return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";	}}

转载地址：http://layki.baihongyu.com/

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